起源

黎曼猜想是波恩哈德·黎曼1859年提出的，这位数学家于1826年出生在当时属于汉诺威王国的名叫布列斯伦茨的小镇。1859年，黎曼被选为了柏林科学院的通信院士。作为对这一崇高荣誉的回报，他向柏林科学院提交了一篇题为“论小于给定数值的素数个数”的论文。这篇只有短短八页的论文就是黎曼猜想的“诞生地”。

黎曼那篇论文所研究的是一个数学家们长期以来就很感兴趣的问题，即素数的分布。素数又称质数。质数是像2、3、5、7、11、13、17、19那样大于1且除了1和自身以外不能被其他正整数整除的自然数。这些数在数论研究中有着极大的重要性，因为所有大于1的正整数都可以表示成它们的合。从某种意义上讲，它们在数论中的地位类似于物理世界中用以构筑万物的原子。质数的定义简单得可以在中学甚至小学课上进行讲授，但它们的分布却奥妙得异乎寻常，数学家们付出了极大的心力，却迄今仍未能彻底了解。

黎曼论文的一个重大的成果，就是发现了质数分布的奥秘完全蕴藏在一个特殊的函数之中，尤其是使那个函数取值为零的一系列特殊的点对质数分布的细致规律有着决定性的影响。那个函数如今被称为黎曼ζ函数，那一系列特殊的点则被称为黎曼ζ函数的非平凡零点。

有意思的是，黎曼那篇文章的成果虽然重大，文字却极为简练，甚至简练得有些过分，因为它包括了很多“证明从略”的地方。而要命的是，“证明从略”原本是应该用来省略那些显而易见的证明的，黎曼的论文却并非如此，他那些“证明从略”的地方有些花费了后世数学家们几十年的努力才得以补全，有些甚至直到今天仍是空白。但黎曼的论文在为数不少的“证明从略”之外，却引人注目地包含了一个他明确承认了自己无法证明的命题，那个命题就是黎曼猜想。黎曼猜想自1859年“诞生”以来，已过了161个春秋，在这期间，它就像一座巍峨的山峰，吸引了无数数学家前去攀登，却谁也没能登顶。

有人统计过，在当今数学文献中已有超过一千条数学命题以黎曼猜想(或其推广形式)的成立为前提。如果黎曼猜想被证明，所有那些数学命题就全都可以荣升为定理；反之，如果黎曼猜想被否证，则那些数学命题中起码有一部分将成为陪葬。

具体内容

黎曼观察到，素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼zeta函数ζ(s)的性态。黎曼假设断言，方程ζ(s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。这点已经对于开始的1,500,000,000个解验证过。

之所以要对这一表达式进行解析延拓， 是因为这一表达式只适用于复平面上 s 的实部 Re(s) > 1 的区域 （否则级数不收敛）。黎曼找到了这一表达式的解析延拓（当然黎曼没有使用 “解析延拓” 这样的现代复变函数论术语）。运用路径积分，解析延拓后的黎曼ζ 函数可以表示为：

这里我们采用的是历史文献中的记号， 式中的积分实际是一个环绕正实轴进行的围道积分（即从 +∞ 出发， 沿实轴上方积分至原点附近， 环绕原点积分至实轴下方， 再沿实轴下方积分至 +∞ ，而且离实轴的距离及环绕原点的半径均趋于 0)，按照现代数学记号应记成：

从这个关系式中不难发现，黎曼ζ 函数在 s=-2n (n 为正整数） 取值为零 - 因为 sin(πs/2) 为零。复平面上的这种使黎曼ζ 函数取值为零的点被称为黎曼ζ 函数的零点。因此 s=-2n （n 为正整数）是黎曼ζ 函数的零点。这些零点分布有序、 性质简单， 被称为黎曼ζ 函数的平凡零点 (trivial zero)。除了这些平凡零点外，黎曼ζ 函数还有许多其它零点， 它们的性质远比那些平凡零点来得复杂， 被称为非平凡零点 (non-trivial zeros)。

黎曼ζ 函数的所有非平凡零点都位于复平面上 Re(s)=1/2 的直线上，也即方程ζ(s)=0的解的实部都是1/2。

在黎曼猜想的研究中， 数学家们把复平面上 Re(s)=1/2 的直线称为 critical line（临界线）。运用这一术语，黎曼猜想也可以表述为：黎曼ζ 函数的所有非平凡零点都位于 critical line 上。